Sobre la actividad planteada al inicio.
Primera parte
- Sin información adicional no podemos decir que tal o cual estudiante no será seleccionado, por lo tanto todos los estudiantes son posibles de ser seleccionados. $\Omega=\{J,M,P,C,A\}$.
- Sin tener información adicional no se pueden calcular todas las probabilidades, por ejemplo $P(Pedro)=1/4$ en caso de que Pedro asista o $P(Pedro)=0$ si no lo hace. Como la probabilidad es una función, un elemento del dominio no puede tener dos imágenes. Tampoco podemos “mezclar” dichas probabilidades porque no hay información sobre la probabilidad de que Pedro asista. Sólo podemos calcular la probabilidad a los conjuntos que dependan de la información conocida o que se descomponen mediante información conocida:
- $\emptyset$, $\Omega$
- $\{J\}$, $\{M\}$ , su unión $\{J,M\}$ y lo complementos $\{M,P, C,A\}$, $\{J,P, C,A\}$, $\{P, C,A\}$.
Se puede verificar que cualquier otro subconjunto nos lleva a requerir información desconocida. Una estrategia para convencerse de que son todos los sucesos es que $X=\{J\}$, $Y=\{M\}$, $Z=\{P,C,A\}$ forman una partición de Omega, por lo tanto la cantidad de subconjuntos que podemos formar coincide con la cantidad del conjunto de partes de $\{X,Y,Z\}$ que es $2^3=8$ .
En resumen, $\Omega=\{J,M,P,C,A\}$ y el dominio de la probabilidad es:
$\{\emptyset, \Omega,\{J\}, \{M\},\{J,M\},\{M,P, C,A\}, \{J,P, C,A\}, \{P, C,A\}\}$
Segunda parte
- Sabiendo que Pedro asistirá, aún no sabemos exactamente quienes serán los cuatro asistentes, por lo tanto $\Omega$ sigue siendo el mismo.
- En este caso se ha incorporado información, ahora sí podemos calcular la probabilidad de {P} y lo que involucre. Todos los conjuntos a los que podemos calcular la probabilidad son:
$\emptyset, \Omega, \{J\}, \{M\}, \{P\}, \{J,M\}, \{J,P\}, \{M,P\}, \{J,M,P\}, \{M,P,C,A\},\{J,P,C,A\}, \{J,M,C,A\}, \{P,C,A\}, \{M,C,A\}, \{J,C,A\}, \{C,A\}$
Estos son todos, al igual que antes, como $\{J\}, \{M\}, \{P\}, \{C,A\}$ forman una partición de $\Omega$, la cantidad de subconjuntos coincide con la cantidad de partes de esta nueva familia, es decir $2^4=16$ .
Tercera parte
- Aquí podemos considerar que $\Omega=\{J,M,P,C\}$ pues ya sabemos exactamente quienes asistirán, también podemos considerarlo como una generalización de los pasos anteriores, por ende podemos considerar el anterior espacio muestral $\{J,M,P,C,A\}$ aunque sabemos que Andrea no asistirá. Esto es de gran utilidad para mostrar que el espacio muestral de un experimento no es único, lo que sucede es que luego se ajusta con las probabilidades, asignado a Andrea probabilidad cero.
- Manteniendo el espacio muestral anterior $\Omega=\{J,M,P,C,A\}$ tenemos que le podemos calcular la probabilidad a todos los subconjuntos de $\Omega$. En efecto, para los conjuntos elementales $P(\{J\})=P(\{M\})=P(\{P\})=P(\{C\})=1/4$ y $P(\{A\})=0$. Luego, el resto de los subconjuntos de Omega se descomponen como unión disjunta de estos.