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Resultado Teórico

Cada vez que queremos calcular una probabilidad condicional tenemos dos alternativas:

  • la primera es aplicar directamente la definición de probabilidad condicional $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$,
  • la segunda es considerar que con el suceso $B$ conocido, ahora tenemos un nuevo espacio de probabilidad que restringe la información a un nuevo espacio muestral que ahora es $B$. 

El problema es cómo obtener las probabilidades en ese nuevo espacio muestral. En el caso de estar trabajando en un espacio de Lapalace tenemos el siguiente resultado.

Espacio condicionado en un espacio de Laplace

Consideremos un espacio de Laplace $(\Omega, \mathcal{A},P)$ y un suceso $B$ con $P(B)>0$. El espacio $(B, \mathcal{A_B}, P^*)$, con $P^*(A)=P(A|B)$, es también un espacio de Laplace.

Demostración

Ordena las siguientes frases para obtener la prueba.

  • En efecto, si $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots, \omega_n\}$, supongamos sin pérdida de generalidad que $B=\{\omega_1, \ldots, \omega_k\}$
  • con $k$ < $n$ (descartamos el caso $B=\Omega$ pues es trivial ¿por qué?).
  • Probemos ahora que los sucesos elementales del nuevo espacio muestral $B$ son equiprobables .
  • Como el espacio original es de Laplace , entonces $P(\{\omega_j\})=\frac{1}{n}$ para todo $j$ de $1$ a $n$ y $P(B)=\frac{k}{n}$.
  • Luego, para todo $i$ de $1$ a $k$,  $P^*(\{\omega_i\})=P(\{\omega_i\}|B)=\frac{P(\{\omega_i\})}{P(B)}=\frac{1/n}{k/n}=1/k$.
  • Esto muestra que todos los sucesos elementales del nuevo espacio condicionado son equiprobables,
  • por lo tanto el nuevo espacio condicionado también es de Laplace.

Comprobar

¡Correcto!

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Tarea

Duración:
10 minutos
Agrupamiento:
2 o 3 estudiantes

Si se extraen tres cartas de un mazo de cartas españolas y resultan que la primera es un Rey,

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un Rey?
  2. ¿Qué utilizaron para calcular esa probabilidad? Identifica todos los elementos (sucesos) involucrados.

Y si se extraen tres cartas y las dos primeras fueron reyes ¿cuál es la probabilidad de que la tercera que se extraiga sea también un Rey?. Identifica todos los elementos (sucesos) involucrados.