Ejemplo 1
Se tira una moneda al aire y se observa la cara superior al caer.
Aquí $\Omega=\left \{ “cara”,“número” \right \}$
Supongamos que no tenemos indicios para suponer que la moneda esté cargada, es decir, suponemos que $P(“cara”) = P(“número”) = 1/2$.
Tenemos además que $P(\Omega) = 1$ y como veremos más adelante, $P(\emptyset) = 0$, de donde tenemos definida la probabilidad para cualquier
elemento de la $\sigma$- álgebra.
Hemos construido así, el espacio de probabilidades $(\Omega, \mathcal{A},P)$.
Ejemplo 2
Supongamos ahora que sí tenemos sospechas que la moneda anterior esté cargada, pues al tirarla 100 veces, se obtuvieron 20 caras y 80
números.
Podríamos suponer aquí que $P(“cara”) = 20/100 = 1/5$ y $P(“número”) = 80/100 = 4/5$.
Sin duda obtenemos un espacio de probabilidades distinto al anterior.
Ejemplo 3
El espacio de probabilidades clásico o de Laplace
Supongamos que nuestro espacio muestral es finito, $\Omega =\left \{ w_1, w_2, ....,w_n \right \}$ y que la $\sigma$-álgebra es $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$.
Definamos las probabilidades como sigue:
$P(\left \{ w_1\right \})=P(\left \{ w_2 \right \})=\cdots=P(\left \{w_n \right \})=\frac{1}{n}$.
Siendo $P$ una probabilidad, si $A$ es un suceso cualquiera, compuesto por $k$ sucesos elementales.
Entonces $A=\left \{ w_{i_1}, w_{i_2}, ....w_{i_k} \right \} = \bigcup_{j=1}^{k}(w_{i_j})$
$P(A) = P(\bigcup_{j=1}^{k}P(w_{i_j})) = \frac{k}{n}$
Ahora debes probar que efectivamente P es una probabilidad.