Números aleatorios

Los números aleatorios son aquellos que pueden ser generados a partir de fuentes de aleatoriedad, las cuales, generalmente, son de naturaleza física (dados, ruletas, mecanismos electrónicos o mecánicos), y son gobernados por las leyes del azar; estos exhiben verdadera aleatoriedad en la realización de experimentos. Por su parte, los números pseudo-aleatorios son aquellos que tienen un comportamiento similar a la naturaleza aleatoria, pero están ceñidos a un patrón, generalmente de naturaleza matemática, que hace que su comportamiento sea determinístico.

Historia de los números aleatorios

Aproximadamente por el año 3500 a.C., juegos de azar con objetos de hueso, que podrian ser considerados como los precursores de los dados, fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. En el siglo XVII, un noble francés, Antoine Gombauld (1607-1684), puso en tela de juicio el fundamento matemático del éxito y fracaso en las mesas de juego. Formuló esta pregunta al matemático francés Balies Pascal (1623-1662): ¿Cuáles son las posibilidades de que me salgan dos seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un par de dados? Pascal resolvió el problema, pues la teoría de la probabilidad empezaba a interesarle tanto como a Gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fernat (1601-1665), y las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista académica dedicada a la probabilidad. Algunos de los problemas que ellos resolvieron habían permanecido sin solución durante unos 300 años. Sin embargo, ciertas probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados ya habían sido calculadas por Giordano Cardano (1501-1576) y por Galileo Galileo (1564-1642)

Mas tarde, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) inventaron fórmulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simón, marqués de Laplace (1749-1827), unificó esas primeras ideas y formuló la primera teoría general de la probabilidad, la cual fue aplicada inicialmente con buenos resultados a los juegos de azar; con el tiempo también se aplicó en la búsqueda de soluciones analíticas a problemas de naturaleza no determinística. La teoría de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada en diversos campos de estudio. Hoy es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería,  ciencias y administración, y se constituye en la base para el estudio de las leyes del azar.

En cuanto a los números aleatorios, podemos afirmar que la historia formal de estos  comenzó en la década de los cuarenta con el nacimiento del método llamado simulación de Montecarlo, y Von Neumann, Metrópolis, Ulam y Lehmer pueden ser nombrados entre los pioneros en este campo. John Von Neumann aparentemente conjeturó el potencial de los computadores para tratar problemas estocásticos en 1945. Durante los cuarenta, la simulación de procesos estocásticos permaneció restringida al proyecto secreto del Departamento de Defensa de Estados Unidos. La publicación de The Monte Carlo Method por Metrópolis y Stanislaw M. Ulam en 1949 denota el inicio de la historia oficial del método. Dos años más tarde, D.H.Lehmer propuso el generador lineal de congruencia, el cual, con pequeñas modificaciones propuestas por Thomson y Rotenberg, ha llegado a convertirse en el método para la generación de números aleatorios más ampliamente usado en la actualidad. Aunque originalmente el método de Montecarlo fue implementado por John Von Neumann y Stanislaw Ulam, utilizando ruletas y dados en los problemas de difusión de los neutrones, en realidad su auge y creciente uso se debe a que hoy se emplean números aleatorios generados por computador.

Antes del advenimiento de las computadoras, los números aleatorios eran generados por dispositivos físicos. En 1939, Kendall y Babington-Smith publicaron 100000 dígitos aleatorios obtenidos con un disco giratorio iluminado con una lámpara relámpago. En 1955, la Rand Corporation publicó un millón de dígitos producidos controlando una fuente de pulsos de frecuencia aleatoria; estos se encuentran disponibles en cintas magnéticas de la Rand.

Generación de números aleatorios

Una vez construido un modelo, debemos experimentar sobre él y para poder ejecutarlo necesitamos dar valores a las variables de tipo exógeno. De esta forma podremos obtener valores de salida y pasaremos a realizar un análisis de los mismos. Algunas de las variables de entrada son de tipo aleatorio por lo que se tendrán que generar valores que simulen dichas entradas. Para generar variables aleatorias que sigan determinadas funciones de probabilidad necesitamos partir de series de números que cumplan ciertas características de aleatoriedad. La generación de dichos números es lo que se va a abordar en este tema.

Propiedades de los números aleatorios

Para que los números sean considerados aleatorios y sean de utilidad deben cumplir lo siguiente:

1. Uniformemente distribuidos: cualquier número que pertenezca al rango de interés debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado.
2. Estadísticamente independientes (no correlación): tienen periodicidad cuando varios elementos, repetidos o no, formando una cadena, aparecen en la misma secuencia.
3. Periodo largo (sin repetición).
4. Reproducibles y mutables: cuando el Método comienza con la misma Semilla, debe dar la misma secuencia de números Pseudoaleatorios.
5. Sencillo en su implementación.
6. Portabilidad.
7. Método rápido de generación: velocidad de generación acorde a las necesidades.
8. Poca memoria para la generación.

 ¿Para qué sirven los números aleatorios?

Los números aleatorios permiten a los modelos matemáticos representar la realidad.

En general cuando se requiere una impredecibilidad en unos determinados datos, se utilizan números aleatorios

Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es también. Si deseamos predecir el comportamiento de un material, de un fenómeno climatológico o de un grupo humano podemos inferir a partir de datos estadísticos. Para lograr una mejor aproximación a la realidad nuestra herramienta predictiva debe funcionar de manera similar: aleatoriamente. De esa necesidad surgieron los modelos de simulación.

En la vida cotidiana se utilizan números aleatorios en situaciones tan dispares como pueden ser los juegos de azar, en el diseño de la caída de los copos de nieve, en una animación por ordenador, en tests para localización de errores en chips, en la transmisión de datos desde un satélite o en las finanzas.

¿Cómo generar números aleatorios?

La lógica nos hace pensar que las personas somos generadores aleatorios imperfectos, hay estudios que demuestran que existen tendencias claras en los humanos para la elaboración de secuencias sesgadas y están relacionadas con características personales, con los conocimientos o informaciones previas o con la edad

Podemos aprovecharnos de situaciones reales para obtener una tabla de números aleatorios, como la lista de los números de Lotería Nacional premiados a lo largo de su historia, pues se caracterizan por que cada dígito tiene la misma probabilidad de ser elegido, y su elección es independiente de las demás extracciones.

Métodos manuales, lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos electrónicos

Métodos de computación analógica, son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica.

Métodos de computación digital, cuando se usa el ordenador digital.

Tablas de bibliotecas, son números aleatorios que se han publicado; de los cuales podemos encontrar listas en los libros de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de los métodos de computación analógica.

¿Qué son los números pseudo-aleatorios?

Son unos números generados por medio de una función (determinista, no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios. Estos números pseudoaleatorios se generan a partir de un valor inicial aplicando iterativamente la función. La sucesión de números pseudoaleatorios es sometida a diversos tests para medir hasta qué punto se asemeja a una sucesión aleatoria .

¿Por qué hay que recurrir a números pseudo-aleatorios?

Fundamentalmente porque las sucesiones de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios. Si las personas tenemos dificultad en generar números aleatorios, mucho más la tiene un ordenador, la dificultad está en que un ordenador es tan "torpe" que no sabe generarlos. Por eso usan números pseudoaleatorios, que para nuestro fin es lo mismo, pues nadie los puede predecir.

Aplicaciones a la criptografía.

En el corazón de todos los sistemas criptográficos, está la generación de números secretos que no puedan ser adivinados por otra persona, es decir aleatorios.

La generación de números aleatorios es necesaria en diversos sistemas criptográficos, como por ejemplo en la telefonía móvil digital GSM se utilizan para la asignación de una clave aleatoria que sirve para autenticar al usuario o también para dar cierta seguridad a la asignación inicial de números secretos a las tarjetas de crédito.